区间估计

置信区间

如果两个统计量 $\underline{\theta }$ 和 $\overline{\theta }$ 满足 $P(\underline{\theta }<\theta <\overline{\theta })=1-\alpha$，则称随机区间 $(\underline{\theta },\overline{\theta })$ 是 $\theta$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间。

称 $\underline{\theta }$ 是置信下限，$\overline{\theta }$ 是置信上限。

单侧置信区间 $(\underline{\theta },+\infty )$ 或者 $(-\infty ,\overline{\theta })$ 就是只考虑一边的 $P=1-\alpha$ 的情况。

单个正态总体均值的区间估计

当 ${\sigma }^2$ 已知时

假设 $X_i$ 全部来自一个正态总体，取枢轴量

$$\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1),$$

则对于给定的 $\alpha$，

$$P\left(\left|\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\right|<z_{\frac{\alpha }{2}}\right)=1-\alpha .$$

当 ${\sigma }^2$ 未知时

假设 $X_i$ 全部来自一个正态总体，取枢轴量

$$\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1),$$

则对于给定的 $\alpha$，

$$P\left(\left|\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\right|<t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\right)=1-\alpha .$$

单个正态总体方差的区间估计

当 $\mu$ 已知时

假设 $X_i$ 全部来自一个正态总体，取枢轴量

$$\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _i(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n),$$

则对于给定的 $\alpha$，

$$P\left({\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n)<\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _i(X_i-\mu {)}^2<{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n)\right)=1-\alpha .$$

当 $\mu$ 未知时

假设 $X_i$ 全部来自一个正态总体，取枢轴量

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1),$$

则对于给定的 $\alpha$，

$$P\left({\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n)<\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}<{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n)\right)=1-\alpha .$$