样本统计量

顺序统计量 $X_{(k)}$ 表示第 $k$ 小。概率密度函数

f_{k} (x) = (k - 1 n) (1 n - k + 1) F (x)^{k - 1} f (x) (1 - F (x))^{n - k} .

$χ^{2}$ 分布

设 $X_{i}$ 独立并且服从标准正态分布 $N (0, 1)$ ，则定义

χ^{2} = X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

为自由度为 $n$ 的 $χ^{2}$ 分布，记作 $χ^{2} (n)$ 。

概率密度函数

f (x) = {\frac{1}{2 ^{\frac{n}{2}} Γ ( \frac{n}{2} )} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, 0, x > 0 x ⩽ 0 .

性质：

期望： $E (χ^{2}) = n$
方差： $D (χ^{2}) = 2 n$
可加性：若 $χ_{1}^{2} \sim χ^{2} (n)$ 和 $χ_{2}^{2} \sim χ^{2} (m)$ 独立，则 $χ_{1}^{2} + χ_{2}^{2} \sim χ^{2} (n + m)$

设随机变量 $X \sim N (0, 1)$ ， $Y \sim χ^{2} (n)$ ，并且它们独立，设随机变量

T = \frac{X}{Y / n}

为自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记作 $t (n)$ 。

概率密度函数

f (x) = \frac{Γ ( \frac{n + 1}{2} )}{πn Γ ( \frac{n}{2} )} (1 + \frac{x ^{2}}{n})^{- \frac{n}{2}} .

设随机变量 $X \sim χ^{2} (n_{1})$ ， $Y \sim χ^{2} (n_{2})$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，设随机变量

F = \frac{X / n _{1}}{Y / n _{2}}

服从自由度为 $n_{1}, n_{2}$ 的 F 分布