行列式

定义

设 $\pi (j)$ 表示排列 $(j_1,\cdots ,j_n)$ 的逆序对个数。矩阵 $a_{ij}$ 的行列式 $\det A$ 是 $n!$ 个排列 $(j_1,\cdots ,j_n)$ 的值的和：

$$f(j_1,\cdots ,j_n):=(-1{)}^{\pi (j)}{a}_{1j_1}\cdots a_{n{j}_n}.$$

性质

1. $\det A=\det A^{\prime }$
2. 项 $a_{i_1{j}_1}\cdots a_{i_n{j}_n}$ 在行列式中的系数为 $(-1{)}^{\pi (i)+\pi (j)}$
3. 如果两个行列式只有一行不同，则它们这一行相加得到的新行列式等于原来的两个行列式之和
4. 上三角矩阵的行列式等于主对角线的元素乘积（通过性质 3 可以把其它元素都化成 $0$）