容斥

$$\left|\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right|=\sum _{i=1}^n|A_i|-\sum _{i<j}|A_i\cap A_j|+\cdots +(-1{)}^{n+1}|A_1\cap \cdots \cap A_n|.$$

数论容斥

设 $f(x)$ 表示 $\gcd =x$ 对答案的贡献， $g(x)$ 表示 $\gcd =kx$ 对答案的贡献，则

$$f(x)=g(x)-f(2x)-f(3x)-\cdots .$$